Pythagoras and the Micro-מבוי

והנה בהיותי בק”ק ווילנא המעטירה אצל הרב המאור הגאון הגדול מ”ו מאור עיני הגולה החסיד המפורסם כמוה”ר אלי’ נר”ו בחודש טבת תקל”ח שמעתי מפי קדוש כי כפי מה שיחסר לאדם ידיעות משארי חכמות. לעומת זה יחסר לו מאה ידות בחכמת התורה. כי התורה והחכמה נצמדים יחד.

ואמר משל לאדם הנעצר יתבלבל שכלו עד כל אוכל תתאב. ועיין ספר חובות הלבבות שער חשבון הנפש דף צ”ג והמשכיל יבין.

וציוה לי להעתיק מה שאפשר ללשונינו הקדוש מחכמות כדי להוציא בולעם מפיהם וישוטטו רבים ותרבה הדעת בין עמינו ישראל. …

— ר’ ברוך משקלאוו, בשם הגר”א1

A Gemara I learned yesterday poses a conundrum: given a tiny מבוי, whose three sides are all only about four טפחים long, how can it meet the requirement of having the entrances of two חצירות, of a minimum width of four טפחים each, opening into it?

היה פחות מעשרה טפחים וחקק בו להשלימו לעשרה כמה חוקק כמה חוקק כמה דצריך ליה אלא משכו בכמה רב יוסף אמר בד’ אביי אמר בארבע אמות …

אמר אביי מנא אמינא לה דתניא אין מבוי ניתר בלחי וקורה עד שיהו בתים וחצרות פתוחין לתוכו ואי בד’ היכי משכחת ליה
וכי תימא דפתח לה בדופן האמצעי והאמר רב נחמן נקיטינן איזהו מבוי שניתר בלחי וקורה כל שארכו יתר על רחבו ובתים וחצרות פתוחין לתוכו2

The Gemara’s cryptic answer: the entrances open onto the corners of the מבוי:

ורב יוסף דפתח ליה בקרן זוית

Rashi explains:

בקרן זוית. טפח מן הפתח בדופן האמצעי וג’ טפחים בדופן המשך וכן בצידו השני כזה:

The Tosafos, although they do not provide a precise and rigorous geometric analysis, nevertheless realize that the diagonal of a rectangle measuring one by three טפחים is less than four טפחים:

לי’ בקרן זוית. פירש בקונט’ טפח מן הפתח בדופן האמצעי ושלשה טפחים בדופן המשך וכן בצידו השני ולא דק דא”כ אין הפתח רחב אלא אלכסון של ג’ טפחים על טפח והנה עינינו רואות שאין האלכסון של שלשה על אחד מגיע לאלכסון של טפח על טפח:3

The Tosafos do not, however, explicitly provide an alternative explanation of the Gemara. Maharsha and Maharam both suggest that by increasing the width of the back wall taken up by the entrances to more than one טפח each, the diagonal width of the entrances can reach four טפחים:

מהרש”א

ור”ל דרש”י לא דק בכאן אלא דצריך לפרש שלא נשאר טפח בתחלת המבוי או שלא נשארו ב’ טפחים בדופן האמצעי שמאחוריו כפירש”י4

מהר”ם

ולא דק כו’. פירוש אלא צריך להיות האמצעי יותר מטפח דאם לא כן אלא כפירוש רש”י לא יהיה הפתח רוחב ד’ טפחים דאינה רחב כי אם אלכסון של ג’ טפחים על טפח וזה אינו ד’ טפחים דהא עינינו רואות שאלכסון של ג’ טפחים על טפח כאחת אינו מגיע לאלכסון של טפח על טפח ג’ פעמים ולכך לא יגיע בשביל האלכסון לד’ טפחים לכך צריך להיות בדופן האמצעי יותר מטפח5

But this is absolutely, demonstrably wrong: even if each entrance occupies an entire half of the back wall of the מבוי, as long as it only occupies three טפחים of the side of the מבוי, its diagonal will still not reach four טפחים! Rashash points this out, finally articulating precisely the Pythagorean theorem and observing that the square root of thirteen is less than four:

מ”ש המהרש”א דצריך לפרש כו’ או שלא נשאר ב’ טפחים בדופן האמצעי לא דק כלל דאפילו אלכסון של ג’ על ב’ לא יעלה לד’ אורך כי אלכסון מכל רבוע הוא גדר למרובע ששטחו מחזיק כשטחי ב’ מרובעים אשר קוי האורך והרוחב המה גדריהם ובנידן דידן הוא כמו הגדר לשטח 13 שאינו מגיע אף לג’ וב’ שלישים6

  1. ספר אוקלידוס (האג – אמשטרדם תק”מ), הקדמת המחבר – קשר []
  2. עירובין ה. – קשר []
  3. תוספות שם ד”ה ליה בקרן זוית. אין סוף דבריהם מובן כל כך, אף שעיקר טענתם על רש”י ברורה; עיין מהרש”ל, מהרש”א, מהר”ם והגהות הב”ח []
  4. מהרש”א על התוספות שם – קשר []
  5. מהר”ם על התוספות שם []
  6. רש”ש שם – קשר []
This entry was posted in mathematics and tagged , , , , , , , , , , . Bookmark the permalink.

8 Responses to Pythagoras and the Micro-מבוי

  1. CS says:

    Math and torah-what can be better?
    Nice post!

    • ER says:

      Just wait till ‘pi’ on Daf 14 or so. That’s fun.

      • Yitzhak says:

        Learned that sugya, too, recently – but the commentators that I saw there do understand that pi is not really ‘3’, unlike here where major commentators seem to have severely misunderstood the relationship between the lengths of the sides of a right triangle.

        • ER says:

          Indeed. But while learning חולין I came across some zingers.

          For example תפארת יעקב on 50b who resolves a difficulty by invoking the fact that pi is not precisely 3, rather a bit LESS!

          Also תפארת צבי on Yoreh Deah 30 who expresses disdain for those who would accept the word of the geometers over the “explicit words of Hazal”.

  2. Pingback: That’s What He Meant, More Or Less | בין דין לדין

  3. Pingback: Mathematical Reasoning and Its Discontents | בין דין לדין

  4. Yitzhak says:

    My previous comment and the post it summarizes are erroneous; see the updated post, and the follow-up.

    Regarding the תפארת צבי, see this post..

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *