That Damned, Elusive π

We seek him here, we seek him there,
Those Frenchies seek him everywhere.
Is he in heaven? — Is he in hell?
That damned, elusive Pimpernel

The previous post featured Rav Ya’akov Gesundheit’s remarkable assertion that the true value of π is actually less than three, and we objected that irrespective of the mathematical inaccuracy, Rav Gesundheit’s source for this is a Tosafos, which (presumably) actually means exactly the opposite, that its true value is greater than three. This is indeed how other aharonim understand the Tosafos:

ש”ך

ז”ל בית יוסף ובסימן מ”ח יתבאר דרוחב סלע הוי שליש טפח עכ”ל וצ”ע דבסימן מ”ח סעיף ד’ כתב המחבר דהעיגול של יתר מכסלע הוי טפח אם כן לפי מאי דקיימא לן בכמה דוכתי בש”ס ופוסקים כל שיש ברחבו טפח יש בהקיפו של עיגול ג’ טפחים אם כן הוי רוחב הסלע פחות משליש טפח (ומכל שכן לפי מה דכתב הרמב”ם בפירוש המשנה פרק קמא דעירובין שההיקף של רוחב טפח הוא חלק השביעית בקרוב יותר מג’ טפחים לפי התשבורת וכן כתבו התוספות פרק קמא דעירובין דף י”ד סוף ע”א דאין החשבון מדוקדק לפי חכמי המדות אם כן כיון דההיקף לא הוי אלא טפח ביותר מסלע מכל שכן דרוחב סלע לא הוי שליש טפח דהיינו כסלע) …

ונראה דהבית יוסף נמשך למ”ש בסימן מ”ח וז”ל

ואהא דאמרינן שאם תמתח תעמוד על טפח כתב הרא”ש חוט המקיף את הקדירה לכשימתח יהיה טפח נמצא רוחב הסלע שליש טפח עכ”ל

אבל פשוא דהרא”ש קאי אסלע דמיירי התם בש”ס דהיינו יותר מכסלע וכמ”ש בדרישה שם (סעיף י”א) [אות ג’] וכמ”ש המחבר גופיה שם דיתר מכסלע הוי היקפו טפח

ואף על גב דהתוספות בפרק אלו טריפות דף נ: כתבו נמי כשמקיף הסלע בחוט וימתח החוט יהא בארכו טפח עכ”ל היינו למאי דס”ד דש”ס התם מעיקרא דכסלע נמי טרפה שאם תמתח תעמוד על טפח אבל למאי דמסיק בתר הכי דלא מטרפה אלא בכיתר מסלע אם כן על כרחך צ”ל דדוקא ההיקף של יתר מכסלע הוי טפח או דבעינן בהיקף מעט יותר מטפח אם כן לפי מאי דכתב המחבר בסימן מ”ח (שההיקף של יתר מכסלע הוי טפח) [לפי הדגול מרבבה הגירסא הנכונה היא: שההיקף של טפח יתר] קשיא דהא רוחב הסלע הוי פחות משליש טפח וצ”ע:1

גנזי יוסף

[קאי על דברי התוספות:] ר”ל דכל שיש ברחבו טפח יש בהיקפו מעט יותר מג’ טפחים וכמ”ש הש”ך ביו”ד סימן ל’ ס”ק ה’, ואם כן כיון שאין בהיקפו של ספר תורה כשהוא נגלל עד תחלתו רק ששה טפחים אין ברחבו ב’ טפחים אלא כשנגלל לאמצעיתו וכשנגלל לתחלתו יכול לישב בב’ טפחים וגם כאן קשה כיון דבלאו הכי יש מעט יותר מן אמה לפי חשבון המדוקדק אלא דלא דק אם כן מה קשה לו אהאי משהו דאפשר לומר שיש עוד יותר משהו ולא דק ביה ודו”ק:2

דברי יעקב

ראשית דברי מר אביו וז”ל

נידון תמיהתך על קושיות הש”ס בבא בתרא יד: מכדי כל שיש ברחבו טפח יש בהקיפו ג’ טפחים וכו’ והקשית לשאול לפי חכמי המהנדסים דכל שיש ברחבו טפח יש בהקיפו ג’ טפחים וחלק שביעית בקירוב מטפח אם כן היה העוביו פחות מב’ טפחים ושפיר יתיב הנה הקשית תמוה גדולה ועצומה ולחומר הקושיא נלפענ”ד וכו’ עכ”ד מר אביו.

מאוד תמהתי עליו הטרם ידע שזה קושיות התוספות בעירובין … ודברי חכמי מדות אלה זכרם גם כן הרמב”ם … והאיך עשה עצמו בכל זה כמחריש כאילו דברים חדשים מאתם תצא.

אמנם לא העלה באמת ארוכה לקושיא זו … סוף דבר שכל דברי מר אביו בזה לא נהירא לדעתי. …3

The most prominent medieval source acknowledging the imprecision of Hazal’s value of π is a passage in Rambam’s commentary to the Mishnah (on that Mishnah that the Gemara on which Tosafos is commenting is discussing):

יש לך לדעת כי יחוס אלכסון העגולה אל המסבב אותה בלי ידוע ואי אפשר לדבר בו לעולם באמת וחסרון זו ההשגה אינה מאתנו כמחשבת הכת הנקראת גהלי”ה אבל הוא בטבעי כי הדבר בלי ידוע ואין במציאות שיושג אבל (ידוע) [יודע] זה בקרוב וכבר חברו חכמי התשבורת לזה חבורים לידע יחוס האלכסון אל המסבב בקרוב ודרך המופת בזה הקרוב אשר עליו סומכין חכמי החכמות הלמודיות הוא יחוס האחד לשלשה ושביעית וכל עגולה שיהיה באלכסון שלה אמה יהיה בהיקפה ג’ אמות ושביעית בקרוב ולפי שזה לא יושג לעולם אלא בקרוב לקחו הם בחשבון הגדול ואמרו כל שיש בהיקפו ג’ טפחים יש בו רחב טפח וסמכו על זה במה שהוצרכו אליו מן המדידה בתורה.4

Intriguingly, this passage seems to be a relatively early source articulating the irrationality of π, as has been variously noted. [I first learned of this point from R. Moshe Meiselman. Perhaps surprisingly, it is not at all clear when, historically, this fact was realized; in any event, it was apparently not proven until the eighteenth century.]

Why does the Gemara feel the need to find a source for the fact that the value of π is three – after all, this is a simple factual question, easily determined via empirical observation! While very frum thinkers, like Rav Nosson Gestetner, indeed adduce this as proof that “even something that can be established mathematically still needs proof from the Bible”:

ועיין עוד ש”ס עירובין … ולכאורה מה צורך בקרא כיון שאפשר לבררו במציאות על ידי חשבון ובירור, ומוכח דאף דבר הניתן לבירור על ידי חשבון מכל מקום צריך ראיה מקרא. ובאמת בתוספות שם כתבו דאין החשבון מדוקדק לפי חכמי המדות עיי”ש. ומכל מקום לדינא נקטינן כדמוכח מקרא.5

they apparently overlook the fact that various earlier thinkers reject this out of hand and take for granted that this is not so, the most prominent and earliest of these being the Rosh – no rationalist he!

ומאי קא מבעיא ליה לגמרא בפרק קמא דעירובין (דף יד.) אמתני’ דכל שיש בהקפו ג’ טפחים יש בו רחב טפח מנא הני מילי ופשיט ליה מים שעשה שלמה וכי אין הדבר נראה לענים נקח דבר עגול ונמדוד הקפו ורחבו.6

Rosh has no answer; he was posing the question, along with many others, to Rashba, who does not respond to this one:

[למה] לי לקרא לדבר הנראה לענים ומציאת כזה גלוי לכל כשנקח דבר עגול ונמדד הקיפו ורחבו וכבר הקשה קושיא זו הרא”ש בתשובה להרשב”א בכלל ב’ סימן י”ד בסופו והרשב”א בתשובותיו להרא”ש בסימן תס”א עד תס”ה לא השיב כלום על זה ע”ש

גם על הקרא דוקו שלשים יסוב גו’ גופיה קשיא דמאי אשמועינן בזה פשיטא דהלא החוש ומציאות יעידו על זה.

גם קשיא מה שהקשו התוספות בשמעתין … והרמב”ם כתב … ודבריו כדברי התוספות שאין החשבון מדוקדק כי חסר שליש שביעית בקירוב כו’ …

ולי נראה דחדא קושיא מתרצא בירך חברתה והכי פירושו דהש”ס מקשה מנא הני מילי דנימא להקל בדבר שהחוש מכחיש והמציאות שהרי יחסר שליש שביעית בקירוב מהאלכסון בדבר שהקיפו שלשה טפחים לא יהיה אלכסונו או רחבו טפח אלא יחסר שליש שביעית בקירוב לזה אמר דמקרא דים של שלמה מוכח דלא חיישינן לזה ואזלינן לקולא כיון שכתיב וקו שלשים באמה יסוב אותו כו’ וקשה מאי אשמועינן בזה פשיטא דהלא החוש יעיד על זה אלא על כרחך דקא משמע לן בזה כיון דלפי האמת יחסר שליש שביעת בקירוב כו’ קא משמע לן הכתוב דלא מקפידין על זה ונחשוב אותו לעולם לשליש גמור אף לקולא לזה פריך המקשה והא איכא שפתו כו’ והאיכא משהו ומנא ליה אם כן דבא הכתוב ללמוד דלא נדקדק בזה אם יחסר אף שליש שביעת בקירוב ואימא דהכתוב בא ללמדינו דלא נדקדק בזה אף אם שפתו יהיה משהו מכל מקום נחשב האלכסון לשליש אבל מנא ליה לילך לקולא בדבר שחסר שליש שביעת בקירוב ומשני מגואי קא חשיב כו’ ואם כן ליכא למידק מקרא המיותר אלא הא קא משמע לן דנילך לקולא אף בדבר שנחסר שליש שביעת בקירוב ואם כן לא קשיא מידי קושית התוספות דאדרבא ה”פ המקשן כיון דאין החשבון מכוון ומדוקדק לפי חכמי המדות מנא לן לילך לקולא ואימא דהקרא אתי לאשמועינן דלא נדקדק אחר המשהו של שפתו כו’ ומשני כו’. [ועיין שם שהאריך עוד בשקלא וטריא של הגמרא]7

The above suggestion of the מקום שמואל invokes Tosafos’s point that the Gemara’s value for π is not actually correct, and proposes that that is precisely the Gemara’s question: “how do we know” that for legal purposes, this approximation is acceptable? Many other aharonim also suggest this:

דברי פנחס

לכאורה קשה אמאי צריך קרא לדבר שבמדה נביא מחוגה ונעשה עיגול טפח ונמדוד הקיפו. ולפי מה שכתבו התוספות דאין החשבון מדוקדק לפי חכמי המידות ניחא דמקשה מנא ליה לדחות דברי חכמי המידות. ולפי דברי הרמב”ם בפירושו למשנה זו מבוארים יותר דברי הגמרא ובקיצור לשונו מיושב נמי קושיתי וז”ל

ולפי שזה לא יושג לעולם אלא בקירוב לקחו גם הם חשבון הגדול ואמרו כל שיש וכו’. וסמכו על זה במה שהוצרכו אליו מן המדידה בתורה ע”כ

השתא הכי פירושו מנא הני מילי כיון דהתנא לא דקדק מסתמא סמיך גם כן אקרא שגם הקרא לא דקדק כמו שכתב הרמב”ם וסמכו על זה במה וכו’ כנ”ל פשוט:

ועם כל זה נראה לי ליישב גם כן קושיית התוספות ד”ה והא איכא … ולפי דברי הרמב”ם ניחא דהא דהתנא לא דקדק משום דסמך אקרא אבל הגמרא מקשה אמאי לא דקדק אפילו כמו הקרא ומשני מגוואי קחשיב כנ”ל.

ואפשר דגם התוספות עיקר קושיתם אההיא דבבא בתרא. …8

ערוך השלחן

אם היתה הקורה עגולה צריך שיהא בהקיפה ג’ טפחים שאז יש ברחבה טפח ואף על גב דאין החשבון מדוקדק לפי חכמי המדות [תוספות עירובין יד. ד”ה והאיכא] מכל מקום כן גזרה התורה למדוד וילפינן לה מים של שלמה [שם] דכתיב עשר משפתו עד שפתו וקו שלשים באמה יסוב אותו סביב [מלכים א’ ז’] וזהו ששאלו בגמרא מנא הני מילי וקשה ניתי חוט ונמדוד אלא דזה גופה מקשה והא אין החשבון מכוון ומתרץ שהתורה צותה כן ומתורץ קושית התוספות שם ועמ”ש ביו”ד סימן ל’ סעיף י”ג]:9

אמת ליעקב

אבל הנ”ל [ליישב קושית התוספות] לפענ”ד דבאמת הא גבי קורה דבעינן טפח – ואם יעשו קורה שהקיפה ג’ הא אין כאן טפח בעובי’, ואפילו הכי סגי משום דחזינן דקרא קחשיב ג’ פעמים אם כן סגי בכה”ג בפחות מטפח, ולפיכך אלמלי היו מוצאין כאן דהוא פחות מב’ טפחים היינו למדין מכאן דלא סגי בג’ ובעינן באמת יותר מזה – דהיינו ג’ טפחים ושביעית כמו שהוא לפי חשבון האמיתי, ונכון הוא לפענ”ד.10

  1. ש”ך יו”ד סימן ל’ ס”ק ה’‏, ועיין נקודת הכסף, פרי מגדים (שפתי דעת) ופרי חדש שם []
  2. גנזי יוסף עירובין שם – קשר []
  3. שו”ת דברי יעקב (קאלאמיא תרמ”א) סימן כ”א – קשר []
  4. פירוש המשניות להרמב”ם, עירובין פרק א’ יג: – קשר []
  5. שו”ת להורות נתן חלק ג’ סימן ס”ו סוף אות ו’ עמוד פז – קשר []
  6. שו”ת הרא”ש כלל ב’ סוף סימן י”ט – קשר []
  7. מקום שמואל (תשמ”ט – דפוס צילום ממהדורת אלטונא תצ”ח) שער התירוצים מסכת עירובין יד. עמוד לד – קשר []
  8. דברי פנחס עירובין שם – קשר []
  9. ערוך השלחן או”ח סימן שס”ג סעיף כ”ב – קשר []
  10. אמת ליעקב נזיקין א’ (נוא יורק תשמ”ז) בבא בתרא יד: – קשר, ועיין פני שלמה (גאנצפריד) שם – קשר []
This entry was posted in mathematics and tagged , , , . Bookmark the permalink.

5 Responses to That Damned, Elusive π

  1. cs says:

    nice job! 🙂

  2. ER says:

    The approach of all the Aharonim mentioned above, can be found in the Tosafos Ha – wait for it – HaRosh(!), Eiruvin 14a.

    Perhaps a knowledgeable Rishonologist can inform us who penned those words. Was it the Rosh himself, students, or others?

    On another note, R Moshe Feinstien allowed one side of the square of tefillin to be up to 2% shorter than the other, based on similar reasoning. Since the Talmud writes that the diagonal of a unit square is 1.4 units, (Tosafos point out in several places that this too is an approximation) therefore a rectangle 1 x 0.98, whose diagonal is in fact 1.4, should be considered a square for halakhic purposes.

  3. ER says:

    Forgot to give the source for R Fienstien: אגרות משה יורה דעה ב סי’ קמו and again in יורה דעה ג סי’ קכ-ה .

  4. Pingback: Mathematical Reasoning and Its Discontents | בין דין לדין

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *