Mathematical Reasoning and Its Discontents

In the course of preparing the previous post, I encountered this bizarre passage in the commentary to the mishnah of Rav Shimshon b. Avraham (the Rash) of Sens:

ובני אדם חכמי המדות אמרו דכל מרובע ב’ קוים במרובע האלכסון שמודדין מדת רחבו ועושין מרובע כמדתו ומודדין מדת ארכו ועושין ריבוע כמדתו ומודדין מדת אלכסון ועושין ריבוע כמדתו יעלה אלכסונו כשיעור אותן ב’ ריבועין אחד שעשו למדת ארכו ואחד שעשו למדת רחבו

תדע עשה לך ריבוע של מאה על מאה וחלוק אותו לאמצעי שתי וערב יהיו לך ד’ ריבועים שיש בכל אחד ואחד נ’ על נ’ חזור וחלוק אותם ריבועים לאלכסונים הנה עיניך רואות דריבוע פנימי חציו של חיצון כזה שהרי חילקת כל הריבועין של נ’ על נ’ לאלכסון והוא חציו של כל אחד ואחד ואותו ריבוע של נ’ על נ’ מרובע שני קוים עולה ב’ פעמים נ’ על נ’ וכן עולה מרובע באלכסונו כאשר הראיתיך בעיניך דריבוע פנימי חציו של חיצון היינו ק’ על נ’ דהיינו ב’ פעמים נ’ על נ’

עוד אבינך בדרך אחרת ב’ ריבועים של נ’ על נ’ חלוק כל אחד לשנים באלכסון וחזור וקח אותן ד’ חתיכות והפוך אלכסונן לצד חוץ ד’ אלכסונין לד’ רוחות תמצא ריבוע ארכו כרחבו מאלו ב’ ריבועים של נ’ על נ’ שחילקת אלכסונן כזה …

ואף על פי שהוכחתי הדבר לריבוע שארכו כרחבו אין לו הוכחה לריבוע שארכו יותר על רחבו ועל כורחין ליתא ההיא כללא [ועיין שם שהוכיח כן מהמשנה, לפי הבנתו בה]1

So Rash:

  • Notes that “men, scholars of measurements” assert the Pythagorean Theorem
  • Proceeds to provide two alternate proofs for the special case of an isosceles triangle
  • Notes that his proofs only apply to this special case and
  • Rejects the theorem in the general case, based on (his understanding of) the mishnah

This oddity has been noted by various modern scholars:

Rambam’s biographer, Herbert A. Davidson:

R. Samson of Sens, in his commentary on Mishna Kila’yim 5:5, knows that “mathematicians” recognize what is in effect the Pythagorean theorem bet he rejects it for all except isoceles right triangles because of a perceived conflict with the Mishna passage.2

A correspondent of the controversial paleoconservative John Derbyshire:

[Some years later, in February 2009, I got the following interesting email from a Talmudic scholar. It’s tangential to the main discussion, but too good to leave out.]

Mr. Derbyshire — Among the things available at your site, I found the following comment:

“The kind of pure intellection that Talmudic scholars immerse themselves in is as abstract and, from a worldly point of view, useless as Riemannian geometry … but there is never an Einstein. Talmudic concepts never have any real fruit in the world of men. Talmudic scholarship consists (it seems to me) of racing the engine of the brain without engaging the gears.”

The response this deserves is much longer than I am willing to write, and, I suspect, longer than you are willing to read. However, I can’t resist commenting on one particular facet: the mathematical one.

As an amateur mathematician and a Yeshiva student, I was naturally inclined to look for mathematical wisdom in the Talmud. It’s quite disappointing in this respect. For the Talmud itself, π is three, the diagonal of a square is 1.4 times the side, there is no hint of e, and so on. On the whole, this is not surprising, since these things were needed only for the most ordinary uses. a rough approximation is often enough. Later medieval scholars did point out that these were only approximations, but they didn’t feel any need to improve on them as a rule.

Still, even for rough calculations, one needs some rough version of the Pythagorean theorem. The Talmud deals with laws, and the laws deal with the real world. Since the real world is Euclidean, one does need some working knowledge of euclidean geometry.

In this connection I had something of a surprise. I’ll spare you the details, unless you’re very interested. The bottom line is that one Talmudic commentator, the Rash Mishantz, came to the conclusion that a section of the Talmud required that the diagonal of a 20 by 30 rectangle have length 32 or less. [Note by JD: The actual length of the diagonal is an irrational number whose first twenty digits are 36.055512754639892931.] He then points out that, according to the “theorem of the wise men of measurement,” the diagonal must be a bit more than 36. this is because

36² = 1296 < 1300 = (20)² + (30)²

The theorem in question is clearly the Pythagorean theorem. He states it exactly he even gives a proof for the special case when the triangle is isosceles as well as being right angled. It’s also fairly clear that he was capable of using it.

So, according to the Rash, the Talmud contradicts the Pythagorean theorem. What’s the conclusion, then? Of course, the Pythagorean theorem must be false. We’ve given a proof of a special case, but it must not generalize to the general theorem.

You might think this supports the idea that we’re dealing with “pure intellection,” completely abstract. But no, the Rash has one more thing to say. In case you doubt his conclusion, he says “and it is easy to draw this and check it,” in other words, just check and see that the Pythagorean theorem is false.

Of course, it is indeed easy to draw, and see that the Pythagorean theorem is true, at least to a good approximation. Presumably the Rash did make a rough drawing himself. However, he was so confident of the truth of divine Revelation, when in conflict with “Greek wisdom,” that he managed to get the answer wrong.

I’d say that the problem here is not that we’re dealing with a “content-free” type of study. On the contrary, we’re dealing with something of direct relevance to any technological enterprise. Nor is the way of thinking completely abstract, the Rash is quite willing to do experiments, at least so he says. Nor are we dealing with stupid people. Two generations after the Rash, his special-case proof had been generalized to a proof of the full theorem, a proof quite different from the one given in Euclid.

The central problem here seems to be hubris. The Talmud is Tora, after all, divine revelation, and all wisdom is in it. It’s not possible that the godless gentiles really have that much to teach us. So actually studying Euclid would practically be heresy. even doing your experiment too carefully would indicate too much in the way of doubt of the teachings.

That’s why “there is never an Einstein” in this field. You can’t really criticize your predecessors, not enough to allow mistakes to be systematically removed, or to allow models to be improved. Yes, talmudic study allows a lot in the way of internal criticism, maybe more than Christian or Moslem systems. Still, it’s nothing like the culture of science. Also, you can’t learn from non-Jews, or from non-religious Jews, at least not too much and not too openly. Contrast this with mathematics, where a Jew, Lipa Bers, develops the theory of Teichmüller, an enthusiastic Nazi.

In case you want to follow this up: the Rash Mishantz is also known as R. Shimshon of Shantz, Rabeinu Shimshon of Sens, or Samson ben Abraham of Sens. The section of the talmud in question is the Mishna in Kilayim 5,5.

Rash was actually first called on this at least four centuries ago, however, by Rav Yom-Tov Lipman Heller, who faults him both for not constructing a diagram to clarify matters – “did he not have a compass to draw a circle …?” – and for unreasonably rejecting the conclusions of the “scholars of measurements, “for all their words are built on strong proofs, that cannot be refuted in any manner (for their proofs are not like the proofs of the natural philosophers)”, and contrasts his attitude to that of the Tosafos we have been discussing, who take for granted that the solution to a conflict between mathematical truth and the Talmud cannot involve the rejection of the latter, and he concludes that Rash must not have bothered to construct a diagram, for “had he seen, he doubtless would have retracted his words, for he would not have contradicted the [evidence of] the sense”:

ולמה לא עשה לו הר”ש צורה מוחשת לראות ולהבין בה כאשר לא האמין לדברי חכמי המדות ואמר … ותימה האם לא היה לו מחוגה לחוגג עגולה ל”ב על ל”ב ולסמן בה שורות גפנים נטועים על ה’ ה’ ועין בעין היה רואה שאי אפשר שיפלו מ”ה גפנים בעגולה הזאת. ואם הוקשה לו משנתינו לא מפני כן יכחיש מה שנראה לעינים ואפילו דברי חכמי המדות לא הוה ליה להכחיש כי כל דבריהם בנוים על מופתים חזקים אשר אי אפשר לסותרם בשום פנים [שאין מופתיהם כמופתי הפילוסופים הטבעיים] הלא תראה בעלי התוספות פרק קמא דעירובין דף יד. כתבו … ומאי קשיא מחכמי המדות לחכמי הש”ס והי’ להם לדחות דברי חכמי המדות מפני דברי חכמי הש”ס כמו שעשה הר”ש שאמר ליתא להאי כללא. אבל הם ראו שדבר חכמי המדות אמתיים שאי אפשר לדחותם בשום פנים והנה זהו כמו בשאר מקומות שהקשו התוספות ותמהו בדברים מן הדברים והניחו בקושיא או בתימה ולא מפני כן נזוז מדברי הש”ס אבל נתלה זה בחסרון ידיעתנו מלתרץ. וכמו כן במשנתינו הוה ליה לר”ש להקשות אבל לא לדחות ולקבל מה שהחוש מכחישו וכל רואיו יאמרו אינו. אבל אין ספק שלא עשה לו צורה מוחשת לראות בה. שאילו היה רואה אין ספק שהיה חוזר מדבריו כי לא היה מכחיש גם החוש. כי לא אאמין שהיה החכם ז”ל משתבש בטעות המדברים מענין חטא החוש. אבל חכמי המשנה ז”ל כבר נשמרו מן הטעות הזה ודקדקן במשנתם …3

The final phrase in the above citation

for I do not believe that the sage [Rash], of blessed memory, would have erred in the fallacy of the Speakers regarding the fallibility of the senses

is apparently a reference to the Twelfth Principle of the Mutakallimūn, as described by Rambam:

ההקדמות הכלליות אשר הניחו ה”מתכלמין” לכל שינויי השקפותיהם וריבוי דרכיהם, והם הכרחיים בקביעת מה שהם רוצים לקבוע בארבעת הדרישות הללו, שתים עשרה [קלב] הקדמות. והנני מזכירם לך, ואחר כך אבאר לך עניין כל הקדמה מהן ומה הם תוצאותיה: …

ההקדמה השתים עשרה, הוא אמרם כי החושים עלולים לטעות, ויעלמו מהם הרבה ממושגיהם, ולפיכך אין להוכיח בהכרעתם, ואין להביאם בהחלט כהוכחה ראשית. …

ההקדמה השתים עשרה
אמרם כי לא תמיד מראים החושים את הנכון.

והוא, כי ה”מתכלמין” פקפקו בהשגת החושים משני צדדים:

האחד שיש שנעלמים מהם – לדבריהם – הרבה ממוחשיהם, אם מחמת דקות גוף הדבר הנישג כפי שאומרים בעצם הבודד, וכל המתחייב מכך כמו שביארנו, או מחמת ריחוקם מן הנישג להם, כמו שאין האדם רואה ולא שומע ולא מריח במרחק מספר פרסאות, וכמו שאינה נישגת תנועת השמים.

והצד השני שהם – לדבריהם – תועים במושגיהם, כמו שרואה האדם את הדבר הגדול קטן אם היה רחוק ממנו, ויראה את הקטן גדול אם היה במים, ויראה את העקום ישר אם היה מקצתו במים ומקצתו מחוץ למים. וכן חולה הירקון רואה את הדברים צהובים, ואשר שאבה לשונו מרה אדומה טועם את הדברים המתוקים מרים, ומונים הרבה דברים מן הסוג הזה, אמרו, ולפיכך אין לסמוך עליהן עד כדי לקחת אותן יסודות הוכחה.

ואל תחשוב כי לחנם נאבקו ה”מתכלמין” על הקדמה זו כפי שחושבים רוב האחרונים הללו, כי מה שחשבו קודמיהם לקיים את החלקיק אין לו צורך, אלא כל מה שהקדמנו מדבריהם הכרחי, ואם נתרופפה הקדמה אחת מהן בטלה כל המטרה.

אבל הקדמה זו האחרונה הרי היא הכרחית מאוד, לפי שאם השגנו בחושינו דברים הסותרים את מה שהניחו, יאמרו אז אין להשגיח בחושים, הואיל והוכח הדבר אשר דימו שהעד השכלי הורה עליו, כגון מה שטענו בתנועה הרצופה שנשתלבו בה תנוחות, וכהתפרקות הרחיים בעת הסיבוב. וכטענתם כי לובן הבגד הזה נעדר עתה וזה לובן אחר, ודברים אלה הפך הנראה. ודברים [קמה] רבים מתחייבים ממציאות החלל ריק, כולם מכחיש אותם החוש.

ותהיה תשובת כל זה שהוא דבר הנעלם מן החוש במה שאפשר להשיב בו כן, ובדברים עונים בהן שזה תעייה מכלל תעיות החוש.

וכבר ידעת שכל אלה השקפות קדומות שהיו נחלת ה”סופסטאניון” כמו שהזכיר גאלינוס בספרו בכוחות הטבעיים, על אותם שהיו מכחישים את החושים, וסיפר כל מה שכבר ידעת.4

THERE are twelve propositions common to all Mutakallemim, however different their individual opinions and methods may be; the Mutakallemim require them in order to establish their views on the four principles. I shall first enumerate these propositions, and then discuss each separately, together with the inferences which may be drawn from it. …

PROPOSITION XII. The senses mislead, and are in many cases inefficient; their perceptions, therefore, cannot form the basis of any law, or yield data for any proof. …

TWELFTH PROPOSITION.

“The senses are not always to be trusted.” For two reasons the Mutakallemim find fault with the perception of the senses. First, the senses are precluded from perceiving many objects, either on account of the smallness of the objects–this is the case with the atoms, as we have already stated–or on account of the remoteness of the objects from the person who desires to perceive them; e.g., we cannot see, hear, or smell at a distance of many miles; nor do we perceive the motion of the heavens. Secondly, the senses misapprehend the objects of their perception: a large object appears small from a distance; a small object immersed in water appears larger; a crooked thing appears straight when partly placed in water, and partly out of it; things appear yellow to a person suffering from jaundice; sweet things are bitter to him whose tongue has imbibed red gall; and they mention many other things of this kind. Therefore they say, we cannot trust our senses so far as to establish any proof on their perceptions. You must not believe that the Mutakallemim had no purpose in agreeing upon this proposition, or as most of the later adherents of that school affirm, that the first Mutakallemim had no ulterior object in endeavouring to prove the existence of atoms. On the contrary, every proposition here mentioned is indispensable; if one of these be rejected, the whole theory falls to the ground. The last-mentioned proposition is of particular importance; for when our senses perceive things by which any of the foregoing propositions are confuted, the Mutakallemim say that no notice should be taken of the perception of the senses so long as the proposition is supported by the testimony of the intellect, and established (as they believe) by proof. Thus they say that the continuous motion is interrupted by moments of rest; that the millstone in its motion is broken into atoms; that the white colour of a garment ceases to exist, and another whiteness comes in its stead. All these theories are contrary to what the eye perceives, and many inferences are drawn from the assumed existence of a vacuum, all of which are contradicted by the senses. The Mutakallemim, however, meet these objections by saying, whenever they can do so, that the perception of these things is withheld from the senses: in other instances they maintain that the contradiction has its source in the deceptive character of the senses. You know that this theory is very ancient, and was the pride of the sophists, who asserted that they themselves were its authors; this is stated by Galenus in his treatise on natural forces; and you know well what he says of those who will not admit the evidence of the senses.5

But as ER has noted, Rav Heller is not the last word within our tradition on the matter; the fiercely non-rationalist Rav Zadok Ha’Cohen of Lublin insists that even on questions of mathematics, we side with Hazal against reason and the evidence of our senses:

אבל אני בעניותי תמיהני על הני רבוותא [הסוברים שאין הכלל של “כל שיש בהיקיפו ג’ טפחים יש בו רחב טפח” מדוקדוק] הלא בגמרא פרק קמא דעירובין מבואר דהחשבון מדוקדק היטב ומכוון ממש וכן בגמרא פרק קמא דבבא בתרא וכמ”ש תוספות שם אלא שהם כתבו וקשה שאין החשבון מדוקדק לחכמי המידות והניחו בקושיא ולא בשביל קושיא זו נדחה חס ושלום דברי הגמרא המפורשים ולכל קושיא יש תירוץ.

וראה רבינו הרשב”א ז”ל בתשובה סימן צ”ח כמה נתייגע להכחיש החוש בשביל קבלת חז”ל שכל שאין כמוה חיה טריפה וראינו לטריפה שחיה י”ב חודש שאין שומעין למעיד שהרי הוא כמעיד על דבר שאי אפשר וכתב וז”ל

אנו שואלים למעיד שמא שכחת או שמא טעית או שמא נתחלף לך זמן בזמן או שמא נתחלפה לך בהמה זו באחרת כו’ ואם יתחזק בטעותו ויאמר לא כי אהבתי דברים זרים והם אשר ראו עיניהם ואחריהם אלך נאמר לו להוציא לעז על דברי חכמים אי אפשר ויבטל המעיד ואלף כיוצא בו ואל יבטל נקודה אחד מדברי תורתינו הקדושה ממה שהסכימו בו חכמי ישראל הקדושים כו’ עכ”ל

הרי כמה התאמץ לדחות החוש בשביל דברי חז”ל ואפילו היו אלף בני אדם המעידים וגם למעידים עצמם אסור כל שכן הנראה במופת שידיעתו קלה בדברים הרבה מהחוש שאין אנו צריכים לדחות דברי רבותינו הקדושים שאמרו כלל דכל שיש כו’ שהוא מכוון בשביל מופת ההנדסה.

ומהתימה על הרמב”ם בפירוש המשניות שכתב שדברי חכמים הם בקירוב ולא בחשבון האמתי ושהם כללו על צד הקירוב ומה יאמר בהך גמרא שזכרנו דמשמע דעל צד הדיוק אמרו דבריהם וכמ”ש תוספות

ותו מתני’ נמי הא לקולא להחשיב קורה ע”ש ואיך יאמרו על צד הקירוב לקולא.

ובזה מצאתי אחר כך בתוספות יום טוב בשם הרב המגיד שתירץ לפי שאינו אלא מדרבנן הקילו אבל מדלעיל קשה.6

Rav Zadok then briefly excerpts a lengthy responsum of Rav Shimon b. Zemah Duran (Rashbaz) discussing these basic questions of the accuracy of Hazal’s mathematical pronouncements and their apparent inconsistency with the findings of the “Greek sages” and the “geometers”:

אלא יש לנו לומר אחד משני דברים או שקבלתן כך היתה ללכת על פי דרכים אלו ואף על פי שיש בהם קירוב דהא שיעורין הלכה למשה מסיני הם כדאיתא בעירובין (ד.) ובסוכה (ה:) ובדוכתי אחריתי. ואפשר לומר שכך נאמרה הלכה למשה מסיני כמ”ש בקידושין (לט.) על ענין אחר והטעם בזה לפי שלא ניתנה התורה למלאכי השרת כמ”ש בברכות (כה:) ובקדושין (נד.) על עניינים אחרים ושמא כך נמסרה להם הלכה שיתנהגו על עיקרים אלו אף על פי שיש בהם קירוב כאלו הם מדוקדקים ויש סמך בזה מים שעשה שלמה שהלך בו הכתוב על דרך קירוב כמו שביארתי זהו אחד משני דברים שאפשר לומר בזה

או שנאמר שהם כשנשאו ונתנו בזה על עיקרים אלו עשו זה לקרב ההבנה אל התלמידים לפי שלעולם ישנה אדם לתלמידו בדרך קצרה כדאיתא בפרק קמא דפסחים (ג:) ובפרק אלו טרפות (סג:) אבל לענין מעשה יש לנו לדקדק הענין על פי הדקדוק האמתי ומסרוהו לחכמים יודעי השיעורים נמצא כי ההלכה מסורה לתלמידים המתחילים והמעשה מסור אל החכמים לדקדקו על פי האמת וזה הדרך ישר בעיני לתקון דבריהם ז”ל …

ובודאי מאשר ראינו עומק שכלם בפירוש המשניות ובכל דבריהם יש לנו לומר שאי אפשר שישיגו חכמי העכו”ם במחקריהם מה שלא השיגו הם וכבר הפליגו בעל ספר הכוזר ז”ל להראות ליאות שכל היונים מהשיג מאשר השיגו חכמי ישראל בענין הטריפות ובנגעי אדם ובגדים ובתים ובענינים אחרים כמו שהרחיב המאמר בזה בספרו וכל שכן בעניני השיעורים דבחושבנא ושיעורא תליא מילתא שאי אפשר לומר שתקצר יד שכלם מהשיג מה שהשיגו אוקלידס וארשמידש להבדיל בין החול ובין הקדש …7

Rav Zadok concludes:

אחר כך מצאתי בתשב”ץ … (ומהתימה שלא זכר וכתב גמרא דכתיבנא מדברי התוספות דמוכח דהוא מכוון ומצומצם. מיהו ע”ש בריש הסימן מה שהעתיק מדברי התוספות נראה שהיה אצלו נוסחא אחרת בדברי תוספות הנ”ל ע”ש) … העתקתי כל דבריו כי ממנו תצא תורה למתפרצים מדברי חכמי העכו”ם נגד דברי חכמינו ז”ל וחושבים כי נגלה להם כל תעלומות הנעלמים מעם רז”ל חס ושלום תיפח רוחם של החושבים כן. וממנו תוצאות חיים להבין דברי השלחן ערוך כי הם נכונים לדינא ולמעשה ואף על פי שבדרך הב’ אמר שלמעשה אינו כן ודאי שלא אמר זה אלא להפיס דעתו של אותו חכם המהנדס ומתפלסף אבל לקושטא העיקר כדרך הראשון כי איך ס”ד היות כל דברי המשנה והתלמוד הבאים להורות המעשה אשר יעשון כדי שלא ישתכח תורה יהי’ ד’ להלכה ולא למעשה ותפוג תורה ללמוד על מנת לעשות ואיך ישימו מכשול אולי מי יורה מתוך דבריהם לעשות אלא ודאי קושטא קאי דהעיקר כדרך הראשון שכתב כי רז”ל כך היתה קבלה בידם והוכיחו מדברי הכתוב לסמוך אכללא דכל כו’ אף על פי שאינו אלא על צד הקירוב ואפילו להקל וכהך דקורה בעירובין שכשנראה טבלא עגולה שבהיקפה ג’ טפחים נדע שרחבה טפח ונסמוך עליה לעירוב וכן כאן בשיעור סלע שראינו שהיקפו טפח ונדע שרחבו שליש או להיפך בפתיחת גולגולת שראו שליש נדע שהיקפו טפח ואף על פי שאינו על צד האמת בזה אנו סומכין בין להקל בין להחמיר:

Rav Zadok, however, fails to acknowledge that in neither of Rashbaz’s two approaches does he in any way entertain the possibility that the secular mathematicians are actually mistaken, and that his entire concluding admonition against underestimating Hazal’s wisdom is merely in support of the need to reconcile Hazal’s pronouncements with mathematical truth, but certainly not an argument for rejecting such truth. [Additionally, Rav Zadok’s assertion that Rashbaz only proposed his second approach “to allay the concerns of that geometrizing, philosophizing scholar, but in truth, the first view is normative” seems bizarre in light of Rashbaz’s explicit endorsement of the second one: “and this approach is right in my eyes to reconcile their words, of blessed memory”.]

  1. פירוש רבינו שמשון משאנץ, כלאים ה:ה – קשר []
  2. Herbert A. Davidson, Moses Maimonides: The Man and His Works, pp. 96-97 n. 118 – link. []
  3. תוספות יום טוב שם – קשר, הובא בעץ החיים על משניות, פירוש משנה ה’ פרק ה’ דכלאים, עמודים קיא.-: – קשר []
  4. מורה נבוכים (מהדורת קפאח) חלק ראשון פרק ע”ג – קשר []
  5. Ibid. Friedlander’s translation – link. []
  6. תפארת צבי יו”ד סימן ל’ ס”ק ה’ ד”ה עוד הקשה הש”ך – קשר []
  7. שו”ת תשב”ץ חלק א’ סימן קס”ה עמוד סב. – קשר []

That Damned, Elusive π

We seek him here, we seek him there,
Those Frenchies seek him everywhere.
Is he in heaven? — Is he in hell?
That damned, elusive Pimpernel

The previous post featured Rav Ya’akov Gesundheit’s remarkable assertion that the true value of π is actually less than three, and we objected that irrespective of the mathematical inaccuracy, Rav Gesundheit’s source for this is a Tosafos, which (presumably) actually means exactly the opposite, that its true value is greater than three. This is indeed how other aharonim understand the Tosafos:

ש”ך

ז”ל בית יוסף ובסימן מ”ח יתבאר דרוחב סלע הוי שליש טפח עכ”ל וצ”ע דבסימן מ”ח סעיף ד’ כתב המחבר דהעיגול של יתר מכסלע הוי טפח אם כן לפי מאי דקיימא לן בכמה דוכתי בש”ס ופוסקים כל שיש ברחבו טפח יש בהקיפו של עיגול ג’ טפחים אם כן הוי רוחב הסלע פחות משליש טפח (ומכל שכן לפי מה דכתב הרמב”ם בפירוש המשנה פרק קמא דעירובין שההיקף של רוחב טפח הוא חלק השביעית בקרוב יותר מג’ טפחים לפי התשבורת וכן כתבו התוספות פרק קמא דעירובין דף י”ד סוף ע”א דאין החשבון מדוקדק לפי חכמי המדות אם כן כיון דההיקף לא הוי אלא טפח ביותר מסלע מכל שכן דרוחב סלע לא הוי שליש טפח דהיינו כסלע) …

ונראה דהבית יוסף נמשך למ”ש בסימן מ”ח וז”ל

ואהא דאמרינן שאם תמתח תעמוד על טפח כתב הרא”ש חוט המקיף את הקדירה לכשימתח יהיה טפח נמצא רוחב הסלע שליש טפח עכ”ל

אבל פשוא דהרא”ש קאי אסלע דמיירי התם בש”ס דהיינו יותר מכסלע וכמ”ש בדרישה שם (סעיף י”א) [אות ג’] וכמ”ש המחבר גופיה שם דיתר מכסלע הוי היקפו טפח

ואף על גב דהתוספות בפרק אלו טריפות דף נ: כתבו נמי כשמקיף הסלע בחוט וימתח החוט יהא בארכו טפח עכ”ל היינו למאי דס”ד דש”ס התם מעיקרא דכסלע נמי טרפה שאם תמתח תעמוד על טפח אבל למאי דמסיק בתר הכי דלא מטרפה אלא בכיתר מסלע אם כן על כרחך צ”ל דדוקא ההיקף של יתר מכסלע הוי טפח או דבעינן בהיקף מעט יותר מטפח אם כן לפי מאי דכתב המחבר בסימן מ”ח (שההיקף של יתר מכסלע הוי טפח) [לפי הדגול מרבבה הגירסא הנכונה היא: שההיקף של טפח יתר] קשיא דהא רוחב הסלע הוי פחות משליש טפח וצ”ע:1

גנזי יוסף

[קאי על דברי התוספות:] ר”ל דכל שיש ברחבו טפח יש בהיקפו מעט יותר מג’ טפחים וכמ”ש הש”ך ביו”ד סימן ל’ ס”ק ה’, ואם כן כיון שאין בהיקפו של ספר תורה כשהוא נגלל עד תחלתו רק ששה טפחים אין ברחבו ב’ טפחים אלא כשנגלל לאמצעיתו וכשנגלל לתחלתו יכול לישב בב’ טפחים וגם כאן קשה כיון דבלאו הכי יש מעט יותר מן אמה לפי חשבון המדוקדק אלא דלא דק אם כן מה קשה לו אהאי משהו דאפשר לומר שיש עוד יותר משהו ולא דק ביה ודו”ק:2

דברי יעקב

ראשית דברי מר אביו וז”ל

נידון תמיהתך על קושיות הש”ס בבא בתרא יד: מכדי כל שיש ברחבו טפח יש בהקיפו ג’ טפחים וכו’ והקשית לשאול לפי חכמי המהנדסים דכל שיש ברחבו טפח יש בהקיפו ג’ טפחים וחלק שביעית בקירוב מטפח אם כן היה העוביו פחות מב’ טפחים ושפיר יתיב הנה הקשית תמוה גדולה ועצומה ולחומר הקושיא נלפענ”ד וכו’ עכ”ד מר אביו.

מאוד תמהתי עליו הטרם ידע שזה קושיות התוספות בעירובין … ודברי חכמי מדות אלה זכרם גם כן הרמב”ם … והאיך עשה עצמו בכל זה כמחריש כאילו דברים חדשים מאתם תצא.

אמנם לא העלה באמת ארוכה לקושיא זו … סוף דבר שכל דברי מר אביו בזה לא נהירא לדעתי. …3

The most prominent medieval source acknowledging the imprecision of Hazal’s value of π is a passage in Rambam’s commentary to the Mishnah (on that Mishnah that the Gemara on which Tosafos is commenting is discussing):

יש לך לדעת כי יחוס אלכסון העגולה אל המסבב אותה בלי ידוע ואי אפשר לדבר בו לעולם באמת וחסרון זו ההשגה אינה מאתנו כמחשבת הכת הנקראת גהלי”ה אבל הוא בטבעי כי הדבר בלי ידוע ואין במציאות שיושג אבל (ידוע) [יודע] זה בקרוב וכבר חברו חכמי התשבורת לזה חבורים לידע יחוס האלכסון אל המסבב בקרוב ודרך המופת בזה הקרוב אשר עליו סומכין חכמי החכמות הלמודיות הוא יחוס האחד לשלשה ושביעית וכל עגולה שיהיה באלכסון שלה אמה יהיה בהיקפה ג’ אמות ושביעית בקרוב ולפי שזה לא יושג לעולם אלא בקרוב לקחו הם בחשבון הגדול ואמרו כל שיש בהיקפו ג’ טפחים יש בו רחב טפח וסמכו על זה במה שהוצרכו אליו מן המדידה בתורה.4

Intriguingly, this passage seems to be a relatively early source articulating the irrationality of π, as has been variously noted. [I first learned of this point from R. Moshe Meiselman. Perhaps surprisingly, it is not at all clear when, historically, this fact was realized; in any event, it was apparently not proven until the eighteenth century.]

Why does the Gemara feel the need to find a source for the fact that the value of π is three – after all, this is a simple factual question, easily determined via empirical observation! While very frum thinkers, like Rav Nosson Gestetner, indeed adduce this as proof that “even something that can be established mathematically still needs proof from the Bible”:

ועיין עוד ש”ס עירובין … ולכאורה מה צורך בקרא כיון שאפשר לבררו במציאות על ידי חשבון ובירור, ומוכח דאף דבר הניתן לבירור על ידי חשבון מכל מקום צריך ראיה מקרא. ובאמת בתוספות שם כתבו דאין החשבון מדוקדק לפי חכמי המדות עיי”ש. ומכל מקום לדינא נקטינן כדמוכח מקרא.5

they apparently overlook the fact that various earlier thinkers reject this out of hand and take for granted that this is not so, the most prominent and earliest of these being the Rosh – no rationalist he!

ומאי קא מבעיא ליה לגמרא בפרק קמא דעירובין (דף יד.) אמתני’ דכל שיש בהקפו ג’ טפחים יש בו רחב טפח מנא הני מילי ופשיט ליה מים שעשה שלמה וכי אין הדבר נראה לענים נקח דבר עגול ונמדוד הקפו ורחבו.6

Rosh has no answer; he was posing the question, along with many others, to Rashba, who does not respond to this one:

[למה] לי לקרא לדבר הנראה לענים ומציאת כזה גלוי לכל כשנקח דבר עגול ונמדד הקיפו ורחבו וכבר הקשה קושיא זו הרא”ש בתשובה להרשב”א בכלל ב’ סימן י”ד בסופו והרשב”א בתשובותיו להרא”ש בסימן תס”א עד תס”ה לא השיב כלום על זה ע”ש

גם על הקרא דוקו שלשים יסוב גו’ גופיה קשיא דמאי אשמועינן בזה פשיטא דהלא החוש ומציאות יעידו על זה.

גם קשיא מה שהקשו התוספות בשמעתין … והרמב”ם כתב … ודבריו כדברי התוספות שאין החשבון מדוקדק כי חסר שליש שביעית בקירוב כו’ …

ולי נראה דחדא קושיא מתרצא בירך חברתה והכי פירושו דהש”ס מקשה מנא הני מילי דנימא להקל בדבר שהחוש מכחיש והמציאות שהרי יחסר שליש שביעית בקירוב מהאלכסון בדבר שהקיפו שלשה טפחים לא יהיה אלכסונו או רחבו טפח אלא יחסר שליש שביעית בקירוב לזה אמר דמקרא דים של שלמה מוכח דלא חיישינן לזה ואזלינן לקולא כיון שכתיב וקו שלשים באמה יסוב אותו כו’ וקשה מאי אשמועינן בזה פשיטא דהלא החוש יעיד על זה אלא על כרחך דקא משמע לן בזה כיון דלפי האמת יחסר שליש שביעת בקירוב כו’ קא משמע לן הכתוב דלא מקפידין על זה ונחשוב אותו לעולם לשליש גמור אף לקולא לזה פריך המקשה והא איכא שפתו כו’ והאיכא משהו ומנא ליה אם כן דבא הכתוב ללמוד דלא נדקדק בזה אם יחסר אף שליש שביעת בקירוב ואימא דהכתוב בא ללמדינו דלא נדקדק בזה אף אם שפתו יהיה משהו מכל מקום נחשב האלכסון לשליש אבל מנא ליה לילך לקולא בדבר שחסר שליש שביעת בקירוב ומשני מגואי קא חשיב כו’ ואם כן ליכא למידק מקרא המיותר אלא הא קא משמע לן דנילך לקולא אף בדבר שנחסר שליש שביעת בקירוב ואם כן לא קשיא מידי קושית התוספות דאדרבא ה”פ המקשן כיון דאין החשבון מכוון ומדוקדק לפי חכמי המדות מנא לן לילך לקולא ואימא דהקרא אתי לאשמועינן דלא נדקדק אחר המשהו של שפתו כו’ ומשני כו’. [ועיין שם שהאריך עוד בשקלא וטריא של הגמרא]7

The above suggestion of the מקום שמואל invokes Tosafos’s point that the Gemara’s value for π is not actually correct, and proposes that that is precisely the Gemara’s question: “how do we know” that for legal purposes, this approximation is acceptable? Many other aharonim also suggest this:

דברי פנחס

לכאורה קשה אמאי צריך קרא לדבר שבמדה נביא מחוגה ונעשה עיגול טפח ונמדוד הקיפו. ולפי מה שכתבו התוספות דאין החשבון מדוקדק לפי חכמי המידות ניחא דמקשה מנא ליה לדחות דברי חכמי המידות. ולפי דברי הרמב”ם בפירושו למשנה זו מבוארים יותר דברי הגמרא ובקיצור לשונו מיושב נמי קושיתי וז”ל

ולפי שזה לא יושג לעולם אלא בקירוב לקחו גם הם חשבון הגדול ואמרו כל שיש וכו’. וסמכו על זה במה שהוצרכו אליו מן המדידה בתורה ע”כ

השתא הכי פירושו מנא הני מילי כיון דהתנא לא דקדק מסתמא סמיך גם כן אקרא שגם הקרא לא דקדק כמו שכתב הרמב”ם וסמכו על זה במה וכו’ כנ”ל פשוט:

ועם כל זה נראה לי ליישב גם כן קושיית התוספות ד”ה והא איכא … ולפי דברי הרמב”ם ניחא דהא דהתנא לא דקדק משום דסמך אקרא אבל הגמרא מקשה אמאי לא דקדק אפילו כמו הקרא ומשני מגוואי קחשיב כנ”ל.

ואפשר דגם התוספות עיקר קושיתם אההיא דבבא בתרא. …8

ערוך השלחן

אם היתה הקורה עגולה צריך שיהא בהקיפה ג’ טפחים שאז יש ברחבה טפח ואף על גב דאין החשבון מדוקדק לפי חכמי המדות [תוספות עירובין יד. ד”ה והאיכא] מכל מקום כן גזרה התורה למדוד וילפינן לה מים של שלמה [שם] דכתיב עשר משפתו עד שפתו וקו שלשים באמה יסוב אותו סביב [מלכים א’ ז’] וזהו ששאלו בגמרא מנא הני מילי וקשה ניתי חוט ונמדוד אלא דזה גופה מקשה והא אין החשבון מכוון ומתרץ שהתורה צותה כן ומתורץ קושית התוספות שם ועמ”ש ביו”ד סימן ל’ סעיף י”ג]:9

אמת ליעקב

אבל הנ”ל [ליישב קושית התוספות] לפענ”ד דבאמת הא גבי קורה דבעינן טפח – ואם יעשו קורה שהקיפה ג’ הא אין כאן טפח בעובי’, ואפילו הכי סגי משום דחזינן דקרא קחשיב ג’ פעמים אם כן סגי בכה”ג בפחות מטפח, ולפיכך אלמלי היו מוצאין כאן דהוא פחות מב’ טפחים היינו למדין מכאן דלא סגי בג’ ובעינן באמת יותר מזה – דהיינו ג’ טפחים ושביעית כמו שהוא לפי חשבון האמיתי, ונכון הוא לפענ”ד.10

  1. ש”ך יו”ד סימן ל’ ס”ק ה’‏, ועיין נקודת הכסף, פרי מגדים (שפתי דעת) ופרי חדש שם []
  2. גנזי יוסף עירובין שם – קשר []
  3. שו”ת דברי יעקב (קאלאמיא תרמ”א) סימן כ”א – קשר []
  4. פירוש המשניות להרמב”ם, עירובין פרק א’ יג: – קשר []
  5. שו”ת להורות נתן חלק ג’ סימן ס”ו סוף אות ו’ עמוד פז – קשר []
  6. שו”ת הרא”ש כלל ב’ סוף סימן י”ט – קשר []
  7. מקום שמואל (תשמ”ט – דפוס צילום ממהדורת אלטונא תצ”ח) שער התירוצים מסכת עירובין יד. עמוד לד – קשר []
  8. דברי פנחס עירובין שם – קשר []
  9. ערוך השלחן או”ח סימן שס”ג סעיף כ”ב – קשר []
  10. אמת ליעקב נזיקין א’ (נוא יורק תשמ”ז) בבא בתרא יד: – קשר, ועיין פני שלמה (גאנצפריד) שם – קשר []

Pythagoras and the Micro-מבוי

והנה בהיותי בק”ק ווילנא המעטירה אצל הרב המאור הגאון הגדול מ”ו מאור עיני הגולה החסיד המפורסם כמוה”ר אלי’ נר”ו בחודש טבת תקל”ח שמעתי מפי קדוש כי כפי מה שיחסר לאדם ידיעות משארי חכמות. לעומת זה יחסר לו מאה ידות בחכמת התורה. כי התורה והחכמה נצמדים יחד.

ואמר משל לאדם הנעצר יתבלבל שכלו עד כל אוכל תתאב. ועיין ספר חובות הלבבות שער חשבון הנפש דף צ”ג והמשכיל יבין.

וציוה לי להעתיק מה שאפשר ללשונינו הקדוש מחכמות כדי להוציא בולעם מפיהם וישוטטו רבים ותרבה הדעת בין עמינו ישראל. …

— ר’ ברוך משקלאוו, בשם הגר”א1

A Gemara I learned yesterday poses a conundrum: given a tiny מבוי, whose three sides are all only about four טפחים long, how can it meet the requirement of having the entrances of two חצירות, of a minimum width of four טפחים each, opening into it?

היה פחות מעשרה טפחים וחקק בו להשלימו לעשרה כמה חוקק כמה חוקק כמה דצריך ליה אלא משכו בכמה רב יוסף אמר בד’ אביי אמר בארבע אמות …

אמר אביי מנא אמינא לה דתניא אין מבוי ניתר בלחי וקורה עד שיהו בתים וחצרות פתוחין לתוכו ואי בד’ היכי משכחת ליה
וכי תימא דפתח לה בדופן האמצעי והאמר רב נחמן נקיטינן איזהו מבוי שניתר בלחי וקורה כל שארכו יתר על רחבו ובתים וחצרות פתוחין לתוכו2

The Gemara’s cryptic answer: the entrances open onto the corners of the מבוי:

ורב יוסף דפתח ליה בקרן זוית

Rashi explains:

בקרן זוית. טפח מן הפתח בדופן האמצעי וג’ טפחים בדופן המשך וכן בצידו השני כזה:

The Tosafos, although they do not provide a precise and rigorous geometric analysis, nevertheless realize that the diagonal of a rectangle measuring one by three טפחים is less than four טפחים:

לי’ בקרן זוית. פירש בקונט’ טפח מן הפתח בדופן האמצעי ושלשה טפחים בדופן המשך וכן בצידו השני ולא דק דא”כ אין הפתח רחב אלא אלכסון של ג’ טפחים על טפח והנה עינינו רואות שאין האלכסון של שלשה על אחד מגיע לאלכסון של טפח על טפח:3

The Tosafos do not, however, explicitly provide an alternative explanation of the Gemara. Maharsha and Maharam both suggest that by increasing the width of the back wall taken up by the entrances to more than one טפח each, the diagonal width of the entrances can reach four טפחים:

מהרש”א

ור”ל דרש”י לא דק בכאן אלא דצריך לפרש שלא נשאר טפח בתחלת המבוי או שלא נשארו ב’ טפחים בדופן האמצעי שמאחוריו כפירש”י4

מהר”ם

ולא דק כו’. פירוש אלא צריך להיות האמצעי יותר מטפח דאם לא כן אלא כפירוש רש”י לא יהיה הפתח רוחב ד’ טפחים דאינה רחב כי אם אלכסון של ג’ טפחים על טפח וזה אינו ד’ טפחים דהא עינינו רואות שאלכסון של ג’ טפחים על טפח כאחת אינו מגיע לאלכסון של טפח על טפח ג’ פעמים ולכך לא יגיע בשביל האלכסון לד’ טפחים לכך צריך להיות בדופן האמצעי יותר מטפח5

But this is absolutely, demonstrably wrong: even if each entrance occupies an entire half of the back wall of the מבוי, as long as it only occupies three טפחים of the side of the מבוי, its diagonal will still not reach four טפחים! Rashash points this out, finally articulating precisely the Pythagorean theorem and observing that the square root of thirteen is less than four:

מ”ש המהרש”א דצריך לפרש כו’ או שלא נשאר ב’ טפחים בדופן האמצעי לא דק כלל דאפילו אלכסון של ג’ על ב’ לא יעלה לד’ אורך כי אלכסון מכל רבוע הוא גדר למרובע ששטחו מחזיק כשטחי ב’ מרובעים אשר קוי האורך והרוחב המה גדריהם ובנידן דידן הוא כמו הגדר לשטח 13 שאינו מגיע אף לג’ וב’ שלישים6

  1. ספר אוקלידוס (האג – אמשטרדם תק”מ), הקדמת המחבר – קשר []
  2. עירובין ה. – קשר []
  3. תוספות שם ד”ה ליה בקרן זוית. אין סוף דבריהם מובן כל כך, אף שעיקר טענתם על רש”י ברורה; עיין מהרש”ל, מהרש”א, מהר”ם והגהות הב”ח []
  4. מהרש”א על התוספות שם – קשר []
  5. מהר”ם על התוספות שם []
  6. רש”ש שם – קשר []