The von Neumann-Morgenstern Cooperative Theory of N-Person Games

From Encyclopædia Britannica:

Von Neumann and Morgenstern were the first to construct a cooperative theory of n-person games. They assumed that various groups of players might join together to form coalitions, each of which has an associated value defined as the minimum amount that the coalition can ensure by its own efforts. (In practice, such groups might be blocs in a legislative body or business partners in a conglomerate.) They described these n-person games in characteristic-function form—that is, by listing the individual players (one-person coalitions), all possible coalitions of two or more players, and the values that each of these coalitions could ensure if a counter-coalition comprising all other players acted to minimize the amount that the coalition can obtain. They also assumed that the characteristic function is superadditive: the value of a coalition of two formerly separate coalitions is at least as great as the sum of the separate values of the two coalitions. …

Von Neumann and Morgenstern defined the solution to an n-person game as a set of imputations satisfying two conditions: (1) no imputation in the solution dominates another imputation in the solution and (2) any imputation not in the solution is dominated by another one in the solution. A von Neumann–Morgenstern solution is not a single outcome but, rather, a set of outcomes, any one of which may occur. It is stable because, for the members of the coalition, any imputation outside the solution is dominated by—and is therefore less attractive than—an imputation within the solution. The imputations within the solution are viable because they are not dominated by any other imputations in the solution.

In any given cooperative game there are generally many—sometimes infinitely many—solutions. A simple three-person game that illustrates this fact is one in which any two players, as well as all three players, receive one unit, which they can divide between or among themselves in any way that they wish; individual players receive nothing. In such a case the value of each two-person coalition, and the three-person coalition as well, is 1.

One solution to this game consists of three imputations, in each of which one player receives 0 and the other two players receive 1/2 each. There is no self-domination within the solution, because if one imputation is substituted for another, one player gets more, one gets less, and one gets the same (for domination, each of the players forming a coalition must gain). In addition, any imputation outside the solution is dominated by one in the solution, because the two players with the lowest payoffs must each get less than 1/2; clearly, this imputation is dominated by an imputation in the solution in which these two players each get 1/2. According to this solution, at any given time one of its three imputations will occur, but von Neumann and Morgenstern do not predict which one.

Although there may be many solutions to a game (each representing a different “standard of behaviour”), it was not apparent at first that there would always be at least one in every cooperative game. Von Neumann and Morgenstern found no game without a solution, and they deemed it important that no such game exists. However, in 1967 a fairly complicated 10-person game was discovered by the American mathematician William F. Lucas that did not have a solution. This and later counterexamples indicated that the von Neumann–Morgenstern solution is not universally applicable, but it remains compelling, especially since no definitive theory of n-person cooperative games exists.

[Emphases added.]

I learned today a perfect example of the three person game discussed in the article:

מי שהיה נשוי שתי נשים ומכר את שדהו, וקנו מהאשה הראשונה תחלה ואחר כך ממנו, השניה מוציאה מיד הלוקח והראשונה מיד השניה והלוקח מיד הראשונה וחוזרים חלילה עד שיעשו פשרה ביניהם:1

The Aharonim recognized that this situation is the three person ‘game’ in question, and that there is no deterministic outcome:

לא נתבאר בגמרא [כתובות צ”ה ע”א] אופן הפשר שיעשו. ונראה אם השניה רוצה לעשות פשר עם הלוקח אז אבדה הראשונה זכותה, כי השניה לא תטרוף מן הלוקח, ואם הראשונה תרצה לעשות פשר עם הלוקח אז אבדה השניה זכותה, כי הלוקח לא יטרוף מן הראשונה, ואם הראשונה והשניה יעשו פשר אבד הלוקח זכותו, כי הראשונה לא תטרוף מן השניה:2

  1. שולחן ערוך אה”ע סימן ק’ סעיף ד []
  2. חלקת מחוקק שם ס”ק כ”ו, וכעין זה כתב הבית שמואל ס”ק כ”ב []

The Fiduciary Responsibilities Of Shepherds

We recently read Ya’akov’s infuriated protestation of his honesty during his service to Lavan:

ויחר ליעקב וירב בלבן ויען יעקב ויאמר ללבן … הייתי ביום אכלני חרב וקרח בלילה ותדד שנתי מעיני1

Is a shepherd actually Halachically obligated in this level of diligence? Rav Ahai Gaon does indeed derive from this passage that he is, insofar as he is being compensated for the job:

שאילתא דאילו גברא דמשלמין ליה חיותא לנטורי מיחייב לנטורא שפיר אי לנטורי חנם אשלימו ליה מנטרא שמירה קלה … ואי לנטורי באגרא אשלימו ליה אף על גב דאוקמא בדוכתא דנטירותא ונגנבה או אבדה מיחייב לשלומי ובעי למיתב בהדה לנטורה ביממא ובליליא דהכי אשכחן ביעקב אבינו דאמר ליה ללבן נטרית לענך ביממא ובליליא הייתי ביום אכלני חורב וקרח בלילה2

The Gemara, on the other hand, seems to explicitly declare that Ya’akov was not obligated in this level of diligence:

ההוא רעיא דהוה קא רעי חיותא אגודא דנהר פפא שריג חדא מינייהו ונפלת למיא אתא לקמיה דרבה ופטריה אמר מאי הוה ליה למעבד הא נטר כדנטרי אינשי …

איתיביה עד מתי שומר שכר חייב לשמור עד כדי הייתי ביום אכלני בחורב וקרח בלילה אמר ליה התם נמי בחזני מתא [פירש”י על הגמרא לעיל: שומרי העיר בלילה שכל סמך אנשי העיר עליהם לשמור גופם וממונם הנהו ודאי בעו נטירותא יתירתא] אמר ליה אטו יעקב אבינו חזן מתא הוה דאמר ליה ללבן נטרי לך נטירותא יתירתא כחזני מתא3

Rav Yeshayah Berlin [not to be confused with his namesake Sir Isaiah Berlin4], in his commentary to the She’iltos משמרת שלום, makes this point:

יש לעיין בסוגיא שלפנינו … דמסיק דאין זה אלא בחזנא דמתא … דוקא, אבל שאר שומרים אינם צריכים לשמור כל כך. ויעקב הוא דקאמר נטרי לך נטירותא יתירתא כחזני מתא ע”ש5

Upon further consideration, however, Rav Ahai Gaon appears to be perfectly correct, since there is actually more to the Sugya than we have heretofore seen:

רב חסדא ורבה בר רב הונא לא סבירא להו הא דרבה דאמרי להכי יהבה לך אגרא לנטורי לי נטירותא יתירתא

The Poskim accept the view of רב חסדא ורבה בר רב הונא against that of רבה, so Rav Ahai Gaon’s requirement of day and night care seems eminently logical, and Rav Berlin’s objection quite baffling. This point is made by Neziv in his העמק שאלה:

דהלכה כרב חסדא ורבה בר רב הונא דאמרי להכי יהבי לך אגרא כו’ ולא כרבה דמוקי הא בחזן מתא, וזה פשוט.6

[Although he does not mention Rav Berlin’s comment, he clearly intends to rebut it. Neziv notes in an introduction to העמק שאלה that he will generally not make explicit reference to the משמרת שלום where he dissents from it, and explains why:

הגאון ר’ ישעיה ברלין זצ”ל עשה זר נפלא וקרא לו ראשון לציון … גם עשה ספר שאילת שלום להעיר באיזה מקומות, ומעטים המה ובמהירות כאשר העיד בכמה מקומות, … אמנם בכמה מקומות נטיתי ביאורי מדעתו ז”ל ולא זכרתי שמו על הקלקלה והתפיסה. הרואה יראה ויבין מה שבלבי, מה שאין כן במקום שנטיתי בפירוש דברי רבינו מדעת שאר ספרים, הייתי מוכרח לפרש שלא כאותו גאון שלא יאמרו נעלם הוא ממני, מה שאין כן ספר שאילת שלום שבצידי. בכל זה באיזה מקומות הביאני הענין לפרש שלא כשאילת שלום, ואי אפשר להסביר תכונת הלב באותו שעה ובאותו מקום שבאתי לפרש.7


Fortunately, we need not speculate about Rav Berlin’s intention, since Mossad Harav Kook’s edition of the העמק שאלה contains as an appendix Rav Berlin’s manuscript notes to his own copy of the שאילתות (which really form the basis for a second edition of his commentaries to that work) in which he explains his rather elliptical comment at much greater length. The publisher describes these notes as follows

הוספות לשאילת שלום מהרב הגאון רבינו ישעיה ברלין זצ”ל, נעתק מכתב-ידו שעל גליונות ספר השאילתות, דפוס דיהרנפורט, תקו”ם (נמצא בבריטיש מוזיאום, לונדון) ונעתק על ידי מר משה סנדרס, לונדון

Rav Berlin’s introduction:


באין ספק ראו עיניו8 כעיני יונים בהשקפה לטובה ב”שאלתות דרב אחאי-גאון” הנדפס זה מקרוב בק”ק דיהרנפורט על-ידי תורני אחד, ושמתי סביב לו “ראשון-לציון” ומתחת לזירו “שאילת-שלום”, ומהותו ואיכותו הלוא מבואר בהסכמתם מתלתא קראי, חכמי הזמן, וגם בהקדמה קטנה אשר הצבתי בראש הספר הנורא ההוא.

His elaboration of our passage:

ונהי דרב חסדא ורבה בר רב הונא לא סבירא להו הא דרבה דאמרי להכי ייהבי לך אגרא לנטורי לי נטירותא יתירתא עיי”ש, היינו רק לאפוקי מדרבה דפוטר בשריג חדא מינייהו, משום דהא נטיר כדנטרי אינשי, על זה פליגי רב חסדא ורבה בר רב הונא, ואמרו דלא מהני בהך נטירותא כדנטרי אינשי, אלא חייב לנטורי נטירותא יתירתא דלהכי יהיב ליה אגרא, אבל בשאר אונסין גדולים, כגון דניים כדניימי אינשי, ושיהיה חייב אפילו עד כדי הייתי ביום אכלני חורב וקרח בלילה, מנלן לאפושי בפלוגתא בין רב חסדא ורבה בר רב הונא, ובין רבה, ועדופין לומר דגם רב חסדא ורבה בר רב הונא אוקמי כמו רבה בחזני מתא דוקא וכהך ברייתא, ויעקב דאמר נטרי לך נטירותא יתירתא כחזני מתא, וכן משמע מהרי”ף (פ”ז רמז תקה) והרא”ש (שם סימן י”ד) שכתבו בהלכותיהם, והלכתא כוותייהו, כרב חסדא ורבה בר רב הונא, דהא רב פפא עביד עובדא כוותייהו דאמרינן (בבא מציעא צ”ג סוף ע”ב) רב אחא סבולאה הוה קא מעבר חיותא וכו’ דחפה חדא לחברתה שדתא למיא אתיא לקמיה דרב פפא חייביה וכו’ עיי”ש (ברי”ף), הרי דבהך דשריג איפלגי ובהא קיימא לן כרב חסדא וכרבה בר רב הונא, משום דרב פפא עביד עובדא כוותייהו, וכן כתב הנימוקי יוסף בזה הלשון ומיהו משמע דאי אנסתו שינה או אונס אחר בגופו פטור, דמאי הוה ליה למיעבד.

Update: Wolf2191 has corrected the absence of a Wikipedia entry for Rav Yeshayah Berlin that I had lamented in note 4.

Update II: I recently encountered a transcript of a speech by Rav Aharon Kotler, in which he takes for granted that Ya’akov’s meticulousness has aspects “that are not found in the שלחן ערוך” and in which an employee is not obligated. As we have seen, this is the position of Rav Yeshayah Berlin, in contradistinction to that of Rav Ahai and Neziv:

לבית לבן הגיע יעקב בהיותו בן ע”ז שנה ובכל זאת הרגיש שעדיין יש לו לעלות מעלה מעלה ולעמוד במדרגתו גם בבית לבן, כדי להכין את בני ישראל לשמור על מדרגתם גם בין האומות, ועל כן הציע אעבדך שבע שנים וכו’. באותו שבע השנים הוא טיהר וקידש את עצמו כאמור עם לבן גרתי. בעבודת הצאן היו ענינים גדולים שאפס קציהם אנו רואים. היו לו דינים שאינם נמצאים ב”חשן משפט”, הייתי ביום אכלני חורב וקרח בלילה ותדד שנתי מעיני, בהנהגות כאלו אין שכיר חייב, הגמרא בסוף השוכר את הפועלים (בבא מציעא) קוראת לזה נטירותא יתירתא.9

  1. בראשית פרק ל”א פסוקים ל”ו – מ []
  2. שאילתות דרב אחאי גאון ויצא שאילתא כ []
  3. בבא מציעא דף צ”ג ע”א – ע”ב []
  4. It is a great shame that even Hebrew Wikipedia only has an entry for the philosopher, and not for the Gaon. It is Wikipedia, so someone should correct this by adding a disambiguation page and an entry for the Gaon, possibly borrowing information from his Jewish Encyclopedia entry and from his entry in the אנציקלופדיה יהדות. He who does so will be זריז ונשכר. []
  5. משמרת שלום על השאילתות שם []
  6. העמק שאלה שם אות ג []
  7. הקדמה להעמק שאלה “פתח העמק” []
  8. I am unsure who Rav Berlin is addressing here. []
  9. משנת רבי אהרן חלק שלישי (מכון משנת רבי אהרן: לייקוואוד ה’תשמ”ח) עמוד קפא []

Certifying Erasures and Insertions

I was recently quite tickled to notice that the Constitution of the United States contains the following little-known passage:

The Word, “the,” being interlined between the seventh and eighth Lines of the first Page, the Word “Thirty” being partly written on an Erazure in the fifteenth Line of the first Page, The Words “is tried” being interlined between the thirty second and thirty third Lines of the first Page and the Word “the” being interlined between the forty third and forty fourth Lines of the second Page.

Attest William Jackson Secretary

These are references to these earlier passages:

This is a perfect, textbook example of קיום מחקים ותלויות:

אם יש בשטר מחקים או תלויות או תיבות שעבר עליהם הקולמוס צריך לקיימם קודם והכל שריר וקיים …1

  1. שולחן ערוך חו”מ סימן מ”ד סעיף ה []