From Wikipedia:
In statistics, quality assurance, and survey methodology, sampling is the selection of a subset (a statistical sample) of individuals from within a statistical population to estimate characteristics of the whole population. Two advantages of sampling are that the cost is lower and data collection is faster than measuring the entire population.
Does halachah recognize the validity of statistical sampling? Let’s consider a concrete case: there is a mixture (יבש ביבש) of איסור and היתר in unknown proportions, so that it is unknown whether the ratio of היתר to איסור is sufficient to apply the principle of ביטול. May we take a statistical sample of the mixture, measure the proportion of איסור therein, and extrapolate from the sample to the entire תערובות? This question seems to be the subject of dispute between Rav Yitzhak Elhanan Spektor and Rav Yehudah Leib Landau (author of the classic work on יורה דעה, יד יהודה). They both (independently) consider virtually the same case: there is a quantity of wheat or קטניות (in a context where the prohibition of קטניות does not apply) and it must be ascertained that any contamination of wheat kernels that have become חמץ, or grain in general (where the קטניות will come into contact with liquid) is less than one sixtieth of the total, so that it will be בטל בששים before פסח. Must the entire quantity of קטניות be analyzed, or is it sufficient to analyze a representative sample, and extrapolate from it to the larger quantity?
Both R. Yitzhak Elhanan and R. Landau invoke the Talmudic concept of בילה. R. Yitzhak Elhanan initially suggests that the doctrine of יש בילה implies that a well-mixed mixture is presumed to be homogeneous, so that measuring the proportion of ingredients in a sample yields the proportion of ingredients in the overall mixture:
עוד נשאלתי בזה, איך יהיה ברירת הרעצקע הנ”ל …
לכאורה יש לדון דאם בילל הקטניות היטיב ונוטל בחפניו ובודק אם יש בו ששים כנגד הדגן דאזי אמרינן דוודאי נבלל לפי החשבון, וכדמצינו בראש השנה (דף י”ג) דר’ שמעון שזורי סבירא ליה בפול המצרי שמקצתו השריש לפני ראש השנה ומקצתו אחר ראש השנה דצובר גרנו לתוכו ונמצא תורם ומעשר מן החדש שבו על החדש שבו ומן הישן שבו על הישן שבו משום דיש בילה אף בדבר יבש, אלמא דסמכינן אף בדבר יבש לומר דנבלל לפי ערך של כל אחד, דאם לא כן יש לנו לחוש דילמא לא נבלל כפי חשבון ונמצא ממעט בחשבון המעשרות, וכיון דסמכינן דוודאי נבלל כפי החשבון אם כן הוא הדין בנידון דידן יש לומר דוודאי נבלל לחשבון הקטניות והדגן, ולכן אם ראה בחפניו דיש ס’ בקטניות נגד הדגן וודאי דסמכינן שכן הוא לפי ערך גם בהמותר ואין לחוש דילמא אירע כך בהך מעט שקיבץ דיש בו ס’ ולא בהמותר, דאם כן התם בפול המצרי גם כן ניחוש דילמא במה דקבץ לעשר היה רובו מן החדש, אלא על כרחך מוכח דוודאי המקובץ הוא כפי החשבון והוא הדין בנידון דידן,1
He subsequently concludes, however, that the operative rule in this context is actually אין בילה, so there is no guarantee of homogeneity and therefore no way to infer the proportion of ingredients in the overall mixture from their proportion in the sample:
ולכן לדינא בנידון דידן בברירת קטניות ברור דלא סמכינן על בדיקת החפנים ולומר כי ודאי נבלל כפי החשבון וכמו דיש ס’ בהנך שנוטל לבדוק כן נחזיק כל הנשאר, משום דביבש לא סמכינן על בילה ולומר דנבלל כפי החשבון, בפרט דהא בנידון דידן הוא חשש דאורייתא, ועוד דהא בשני מינים שאינן שוין כמו קטניות בדגן ודאי דאינן בילה, דלא מצינו בכל הש”ס שיאמרו יש בילה רק במין אחד רק א’ חדש וב’ ישן וכה”ג, מה שאין כן בשני מינין שונים לא מצינו כלל לומר בזה דנבלל כפי חשבון, … בפרט שעיקר החומרא הוי מחמת שאי אפשר לבררו היטיב, ןלכן צריך לברור היטיב על כל פנים … כן נלע”ד בכל זה:2
R. Landau, on the other hand, maintains that sampling before פסח (which he informs us was the customary practice) is a perfectly valid method of ascertaining that the quantity of wheat kernels that have become חמץ does not exceed the allowable proportion. We may assume that the mixture is homogeneous, despite the general rule of אין בילה, since on a Biblical level the mixture is certainly permitted due to ביטול ברוב, and the entire concern is Rabbinic:
גם נראה דיפה עושין מה שמכשירין החיטין קודם פסח אם יש ס’ נגד החמוצים שלוקחין מעט חיטין מהכרי ובודקין בהם אם יש שיעור ס’ נגד החמוצים ולא אמרינן דהא אין בילה ושמא בכאן לא נמצא חמוצים כל כך דכיון דמדאורייתא ברובא בטל דזה נמי הוי שפיר מין במינו בין בשמא בין בטעמא והגם דטעם החמץ חלוק קצת מן מצה מיהא אינו חלוק כל כך שיהיה ניכר טעם המועט אם נתערב בחבירו הרוב … על כן שפיר סומכין דמסתמא נבלל יפה …3
ובמ”ש נתישב שפיר המנהג במה שנוהגין קודם פסח כאשר בודקין החיטין אם יש ס’ נגד החמוצים אז לוקחין קצת מהכרי ובודקין אם יש ס’ בהם מתירין כולן והקשה לי אחד הא קיימא לן אין בילה אם כן מאי זה ראיה על השאר אבל לפי זה שפיר ניחא כיון דהוא קודם פסח ובטל כבר ברוב רק הספק אם יש ס’ תו שפיר יכולין לסמוך על זה כיון דיכול להיות דבאמת נבלל יפה ואף אי ספק הוא שפיר הוי ספיקא דרבנן כמו בכל נשפך גבי מין במינו וזה הוי שפיר מין במינו … וכן בהטעם הגם שמה שנתחמץ חלוק קצת בהטעם מכל מקום בודאי אי אפשר להכיר בין רוב אינו חמוצים …4